Survival Cheatsheet — Traitement du Signal

Fiche Mémo & Cheatsheet de Survie (Examen TDS)

Toutes les formules indispensables, théorèmes clés et astuces méthodologiques pour réussir le DS de Traitement du Signal.

PRODUIT PHARE

1. Bases Complexes & Trigonométrie

Formule d'Euler :

$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$

Formules de De Moivre (Cos/Sin) :

$\cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}$
$\sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$

Produits trigonométriques utiles :

$\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$
$\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$

2. Séries de Fourier (Signaux Périodiques)

Décomposition réelle ($T$ - période, $\omega = \frac{2\pi}{T}$) :

$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)\right]$

Calcul des coefficients :

$a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^T x(t)dt \quad \text{(Valeur moyenne)}$
$a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^T x(t)\cos(n\omega t)dt$
$b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^T x(t)\sin(n\omega t)dt$

💡 ASTUCE SYMETRIE (Gain de temps exam !) :
• Si $x(t)$ est pair ($x(-t) = x(t)$) $\implies b_n = 0$ (uniquement des cosinus).
• Si $x(t)$ est impair ($x(-t) = -x(t)$) $\implies a_n = 0$ et $a_0 = 0$ (uniquement des sinus).

3. Échantillonnage & Shannon

Condition de Nyquist-Shannon (Théorème Fondamental) :

$f_e > 2 \cdot f_{max}$

La fréquence d'échantillonnage $f_e$ doit être strictement supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans le signal pour éviter le repliement de spectre (aliasing).

Signal échantillonné (peigne de Dirac) :

$x_e(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t - n T_e)$

4. TZ & Transformées

Transformée de Fourier (Signal Continu) :

$X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j 2\pi f t} dt$

Transformée en Z (Signal Discret) :

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n] z^{-n}$

Propriété de Retard TZ (Incontournable en RIF/RII) :

$x[n-k] \leftrightarrow z^{-k}X(z)$

Cheat Codes de l'Étudiant : Comment éviter les pièges au DS

Piège 1 : L'impulsion de Dirac

Rappelez-vous que $\int_{-\infty}^\infty \delta(t - t_0) g(t) dt = g(t_0)$. Intégrer un Dirac revient simplement à évaluer la fonction à l'endroit de l'impulsion ! C'est le calcul le plus facile de l'examen.

Piège 2 : Le repliement spectral

Si $f_e \le 2 f_{max}$, la fréquence apparente perçue après repliement est donnée par la formule : $f_{apparente} = |f - k \cdot f_e|$ où $k$ est l'entier tel que le résultat tombe dans la bande $[0, f_e/2]$.

Piège 3 : RIF vs RII

Un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) ne dépend que des entrées présentes et passées. Sa fonction de transfert $H(z)$ n'a pas de dénominateur. Un filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) boucle sur ses sorties passées ($y[n-1]$ etc.) et peut devenir instable.