Corrigé Examen DS 2025 — Traitement du Signal

Examen AP3 — Juin 2025

Devoir Surveillé de Traitement du Signal — Résolutions exhaustives & Tracés géométriques.

Ce corrigé interactif vous propose une correction rédigée à la rigueur académique pour le sujet de DS AP3 de juin 2025. Vous y trouverez toutes les étapes de calcul, les explications physiques sous-jacentes, et les tracés géométriques des signaux et spectres associés.

Total : 21,5 points (avec Bonus) Partie 1 : Évaluation (4.5 pts) Partie 2 : Convolutions (6 pts) Partie 3 : Fourier & Spectres (11 pts)

1) Comment obtenir très simplement la composante continue d’un signal $x(t)$ à partir de sa transformée de Fourier ?

Réponse :

La composante continue d'un signal correspond à sa valeur moyenne temporelle sur l'infini, ce qui équivaut physiquement à la valeur de sa densité spectrale à la fréquence nulle $f = 0$ (ou pulsation $\omega = 0$).
Il suffit donc d'évaluer la transformée de Fourier $X(f)$ du signal à la fréquence nulle : $$\text{Composante continue} = X(0)$$

Justification mathématique :
Par définition de la transformée de Fourier continue : $$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt$$ En évaluant cette intégrale pour $f = 0$, l'exponentielle complexe vaut $e^{0} = 1$, ce qui donne : $$X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) dt$$ Cette intégrale de l'aire sous la courbe du signal représente bien la contribution moyenne globale continue du signal.

2) Pourquoi la transformée de Fourier est-elle plus utile en traitement du signal que les séries de Fourier ?

Réponse :

Les Séries de Fourier sont un outil restreint aux signaux périodiques. Elles décomposent ces derniers en une somme discrète infinie d'harmoniques, générant un spectre discret composé uniquement de raies fréquentielles localisées aux multiples de la fréquence fondamentale.
La Transformée de Fourier est une généralisation qui s'applique à tous les signaux (qu'ils soient périodiques, apériodiques, transitoires, ou impulsifs d'énergie finie). Elle fournit un spectre continu de fréquences.
Dans les systèmes physiques réels (bruits transitoires, signaux de parole non stationnaires, modulations, impulsions), les signaux ne sont pas strictement périodiques. La transformée de Fourier est donc indispensable car elle permet d'étudier la réponse de ces systèmes à n'importe quelle sollicitation transitoire.

3) Avec quel opérateur mathématique peut-on calculer la sortie temporelle d’un filtre dont on connaît la réponse impulsionnelle ?

Réponse :

La sortie temporelle $y(t)$ d'un système linéaire invariant (SLI) ou filtre, sollicité par un signal d'entrée $x(t)$ et caractérisé par sa réponse impulsionnelle $h(t)$, est calculée en effectuant le produit de convolution (noté $*$) entre l'entrée et la réponse impulsionnelle : $$y(t) = x(t) * h(t)$$ Ce produit s'exprime sous la forme de l'intégrale temporelle de convolution suivante : $$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(u) h(t - u) du = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t - u) h(u) du$$

Énoncé : On considère une fonction de type porte, notée $x(t)$ et définie par : $$x(t) = \begin{cases} 1, & \text{si } 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$$ L'objectif est de calculer analytiquement et de tracer l'auto-convolution de cette porte : $y(t) = x(t) * x(t)$.

1) Représentation graphique de la porte $x(t)$

La porte commence à $t=0$ et se termine à $t=1$ avec une amplitude de $1$.

2) Expression (l'intégrale) définissant la fonction $y(t)$

Par définition de la convolution temporelle de deux fonctions : $$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(u) x(t - u) du$$ Puisque $x(u) = 1$ uniquement sur l'intervalle $u \in [0, 1]$ et vaut $0$ en dehors, l'intégrale se simplifie en réduisant ses bornes au domaine utile du signal modulant $x(u)$ : $$y(t) = \int_{0}^{1} x(t - u) du$$ Ici, la fonction à l'intérieur $x(t-u)$ vaut $1$ uniquement lorsque son argument satisfait : $$0 \le t - u \le 1 \iff t - 1 \le u \le t$$

3) Calcul analytique complet par distinction de cas

Pour calculer l'aire d'intersection des deux fonctions de largeur unitaire, nous devons faire glisser la porte mobile $x(t-u)$ par rapport à la porte statique $x(u)$ en fonction du paramètre de décalage temporel $t$ :

Cas 1 : $t \lt 0$ (Pas de chevauchement) :
La porte mobile $x(t-u)$ (qui s'étend sur $u \in [t-1, t]$) est entièrement située à gauche de la porte statique $x(u)$ (intervalle $[0, 1]$). L'intersection est nulle : $$y(t) = 0$$
Cas 2 : $0 \le t \le 1$ (Entrée progressive, chevauchement partiel) :
La porte mobile commence à empiéter sur la porte statique. L'intervalle de recouvrement utile est situé entre la borne inférieure fixe $0$ et le front montant mobile $t$ : $$y(t) = \int_{0}^{t} 1 \cdot 1 \, du = [u]_{0}^{t} = t$$
Cas 3 : $1 \le t \le 2$ (Sortie progressive, chevauchement partiel) :
Le front montant de la porte mobile a dépassé $1$, mais son front descendant $t-1$ est inférieur à $1$. L'intervalle de recouvrement est délimité par le front descendant mobile $t-1$ et la borne supérieure fixe $1$ : $$y(t) = \int_{t-1}^{1} 1 \cdot 1 \, du = [u]_{t-1}^{1} = 1 - (t - 1) = 2 - t$$
Cas 4 : $t > 2$ (Pas de chevauchement) :
La porte mobile a entièrement dépassé la porte statique à droite ($t-1 > 1$). L'intersection est nulle : $$y(t) = 0$$

On obtient ainsi rigoureusement le signal d'auto-convolution triangulaire :

$$y(t) = \begin{cases} t, & \text{si } 0 \le t \le 1 \\ 2 - t, & \text{si } 1 \le t \le 2 \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$$

4) Représentation du signal de sortie $y(t)$

Le signal de sortie est un triangle qui commence à $t=0$, culmine à $1$ en $t=1$, et s'amortit pour s'annuler à $t=2$.

5) Dénomination classique de la fonction $y(t)$

On appelle classiquement cette fonction une fonction triangle ou porte triangulaire (souvent notée $\Lambda(t-1)$, décalée et centrée en $t=1$).
De manière générale, le produit de convolution de deux fonctions portes rectangulaires identiques donne toujours une fonction triangulaire.

Énoncé : On considère une fonction de type porte centrée, notée $x_2(t)$ et définie par : $$x_2(t) = \begin{cases} A, & \text{si } |t| \le T \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$$ avec $A = 3$ et $T = 4\text{ ms}$ (soit une largeur totale de porte $2T = 8\text{ ms}$).

1) Représentation graphique de la porte centrée $x_2(t)$

La porte s'étend de $-4\text{ ms}$ à $+4\text{ ms}$ avec une amplitude de $3\text{ V}$.

2) Démonstration rigoureuse de la transformée de Fourier de $x_2(t)$

Par définition de la transformée de Fourier continue pour un signal déterministe temporel :

$$X_2(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x_2(t) e^{-j 2\pi f t} dt$$

Puisque le signal de porte rectangulaire $x_2(t)$ est nul en dehors de l'intervalle $[-T, T]$, nous pouvons restreindre les bornes de l'intégration et remplacer $x_2(t)$ par sa valeur constante $A$ :

$$X_2(f) = \int_{-T}^{T} A e^{-j 2\pi f t} dt$$

En factorisant par la constante $A$ et en effectuant l'intégration directe de la fonction exponentielle complexe :

$$X_2(f) = A \left[ \frac{e^{-j 2\pi f t}}{-j 2\pi f} \right]_{-T}^{T}$$

En évaluant l'intégrale aux bornes supérieure et inférieure :

$$X_2(f) = A \frac{e^{-j 2\pi f T} - e^{j 2\pi f T}}{-j 2\pi f}$$

En réorganisant les termes au numérateur par multiplication par $-1$ pour simplifier les signes négatifs :

$$X_2(f) = A \frac{e^{j 2\pi f T} - e^{-j 2\pi f T}}{j 2\pi f}$$

Selon les formules d'Euler, la fonction sinus s'exprime sous forme complexe par $\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$. En identifiant $\theta = 2\pi f T$, on obtient :

$$X_2(f) = A \frac{2j \sin(2\pi f T)}{j 2\pi f} = A \frac{\sin(2\pi f T)}{\pi f}$$

Pour faire apparaître la fonction usuelle du sinus cardinal normalisé $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$, on multiplie et divise cette expression par la largeur totale de la porte $2T$ :

$$X_2(f) = 2T A \frac{\sin(2\pi f T)}{2\pi f T} = 2T A \text{sinc}(2\pi f T)$$

Calcul de l'amplitude spectrale maximale à fréquence nulle :
Par le théorème des limites, à la fréquence nulle $f \to 0$, le sinus cardinal vaut $\text{sinc}(0) = 1$. L'amplitude spectrale maximale est donc : $$X_2(0) = 2 T A = 2 \cdot 0.004\text{ s} \cdot 3\text{ V} = 0.024\text{ V/Hz} = 24\text{ mV/Hz}$$

3) Spectre d'amplitude (module) $|X_2(f)|$ de la porte centrée

Le spectre est une courbe en forme de cloche de type sinus cardinal. Sa valeur maximale est de $24\text{ mV/Hz}$ à $f=0\text{ Hz}$.
Les zéros spectraux (fréquences où le spectre s'annule) se produisent pour : $$\pi f \cdot 2T = k\pi \implies f_k = \frac{k}{2T} = \frac{k}{0.008\text{ s}} = k \cdot 125\text{ Hz}$$ Le premier zéro positif est à $f_1 = 125\text{ Hz}$, le second à $250\text{ Hz}$, etc.

Énoncé : Soit le signal temporel composite suivant : $$y(t) = 4 + 2\sin(6\cdot 10^3 \pi t) + 4\cos(4\cdot 10^3 t)$$

1) Nature de l'énergie et de la puissance de $y(t)$

Le signal $y(t)$ est constitué d'une composante continue (amplitude constante $4$) et de deux composantes périodiques de pulsation constante ($\omega_1 = 6\cdot 10^3\pi\text{ rad/s}$ et $\omega_2 = 4\cdot 10^3\text{ rad/s}$).
Ce signal s'étend de $-\infty$ à $+\infty$ avec des amplitudes qui ne s'atténuent pas. L'intégrale de son énergie temporelle diverge vers l'infini : $$E = \int_{-\infty}^{+\infty} |y(t)|^2 dt = +\infty$$ Il s'agit donc d'un signal à énergie infinie.
Par contre, sa valeur quadratique moyenne temporelle est stable et bornée. Il s'agit donc d'un signal à puissance moyenne finie.

Calcul de la puissance totale $P_T$ (par orthogonalité des raies) :
Par le théorème de Parseval, les signaux harmoniques de fréquences différentes étant orthogonaux, les puissances de chaque composante spectrale s'additionnent simplement : $$P_T = P_{DC} + P_{\text{sinus}} + P_{\text{cosinus}}$$ $$P_T = 4^2 + \frac{2^2}{2} + \frac{4^2}{2} = 16 + 2 + 8 = 26\text{ Watts}$$

2) Expression analytique de la transformée de Fourier $Y(f)$

Déterminons d'abord les fréquences constitutives de chaque terme :

Terme continue : $f_0 = 0\text{ Hz}$ d'amplitude $4$.
Terme sinus : $\omega_1 = 6\cdot 10^3 \pi \implies 2\pi f_1 = 6000\pi \implies f_1 = 3000\text{ Hz} = 3\text{ kHz}$.
Terme cosinus : $\omega_2 = 4\cdot 10^3 \implies 2\pi f_2 = 4000 \implies f_2 = \frac{2000}{\pi}\text{ Hz} \approx 636.62\text{ Hz}$.

Par linéarité de la transformée de Fourier, appliquons les transformées de Fourier des fonctions usuelles (constante, sinus et cosinus exprimés par les distributions de Dirac) : $$4 \longleftrightarrow 4\delta(f)$$ $$2\sin(2\pi \cdot 3000 t) \longleftrightarrow \frac{2}{2j} [\delta(f - 3000) - \delta(f + 3000)] = -j\delta(f - 3000) + j\delta(f + 3000)$$ $$4\cos(2\pi \cdot \frac{2000}{\pi} t) \longleftrightarrow \frac{4}{2} [\delta(f - \frac{2000}{\pi}) + \delta(f + \frac{2000}{\pi})] = 2\delta(f - \frac{2000}{\pi}) + 2\delta(f + \frac{2000}{\pi})$$

L'expression complète de la distribution spectrale $Y(f)$ est :

$$Y(f) = 4\delta(f) + 2\delta\left(f - \frac{2000}{\pi}\right) + 2\delta\left(f + \frac{2000}{\pi}\right) - j\delta(f - 3000) + j\delta(f + 3000)$$

3) Spectre d'amplitude (module) $|Y(f)|$

Le spectre d'amplitude est constitué de distributions impulsives (pics de Dirac symétriques) aux fréquences suivantes :

À $f = 0\text{ Hz}$, hauteur impulsive égale à $4$.
À $f = \pm \frac{2000}{\pi}\text{ Hz} \approx \pm 636.6\text{ Hz}$, hauteur égale à $2$ (provenant du cosinus).
À $f = \pm 3000\text{ Hz} = \pm 3\text{ kHz}$, hauteur égale à $1$ (provenant du sinus, car $|-j| = |j| = 1$).

4) Spectre de phase (argument) $\arg(Y(f))$

L'argument est défini par rapport aux coefficients complexes des impulsions spectrales :

Pour les composantes réelles positives (fréquences $f = 0$ et $f = \pm \frac{2000}{\pi}\text{ Hz}$), la phase est nulle : $0\text{ rad}$.
Pour le Dirac à $f = 3000\text{ Hz}$ (coefficient $-j$), la phase est égale à $-\frac{\pi}{2}\text{ rad}$ (ou $-90^\circ$).
Pour le Dirac à $f = -3000\text{ Hz}$ (coefficient $j$), la phase est de $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$ (ou $+90^\circ$).

Question Bonus : Évaluation de la fréquence d'échantillonnage $F_e = 10\text{ kHz}$

Raisonnement & Analyse scientifique :

Pour juger de la pertinence de cet échantillonnage, il faut appliquer le théorème de Shannon. Ce critère impose que la fréquence d'échantillonnage $F_e$ soit strictement supérieure ou égale au double de la fréquence maximale contenue dans le signal ($2 \cdot f_{max}$).

Les fréquences utiles de notre signal sont $0\text{ Hz}$, $f_1 \approx 636.6\text{ Hz}$ et $f_2 = 3000\text{ Hz}$.
La fréquence maximale du signal est donc : $f_{max} = 3\text{ kHz}$.
Le double de la fréquence maximale est : $2 \cdot f_{max} = 6\text{ kHz}$.

Or, la fréquence d'échantillonnage choisie est $F_e = 10\text{ kHz}$.
Puisque $10\text{ kHz} \ge 6\text{ kHz}$, le critère de Nyquist-Shannon est respecté.

Conclusion : Cet échantillonnage est judicieux. Il évite le phénomène de repliement spectral (aliasing) et permet au filtre de reconstruction analogique passe-bas de restituer intégralement et fidèlement le signal d'origine sans perte d'information.