Examen Partiel AP3 — Juin 2025
Durée : 2h — Calculatrice autorisée — Sans documents. Solutionnaire rédigé à la rigueur académique.
Ce corrigé interactif offre une correction rédigée de manière exhaustive et rigoureuse pour l'épreuve de partiel de juin 2025. Chaque calcul est détaillé étape par étape, accompagné des justifications physiques et mathématiques nécessaires. Des illustrations vectorielles (spectres et signaux) complètent les explications pour une meilleure compréhension des concepts d'échantillonnage, de repliement spectral et de modulation.
- Le spectre de $x(t)$ peut être considéré comme négligeable en dehors de l'intervalle $[20\text{ Hz} - 140\text{ Hz}]$.
- Les valeurs d'amplitude de $x(t)$ sont comprises entre $-3\text{ Volts}$ et $+9\text{ Volts}$.
- D'avoir une erreur de quantification au maximum égale à $0,1\text{ Volts}$,
- D'avoir un dispositif de numérisation utilisant le moins de bits possible.
Voici la correction détaillée de l'Exercice 1 présenté dans l'image image_537c09.png, découpée selon les trois étapes de la numérisation : l'échantillonnage, la quantification et le codage binaire.
1. Échantillonnage (Choix de la fréquence d'échantillonnage $f_s$)
D'après l'énoncé, le spectre du signal $x(t)$ est négligeable en dehors de l'intervalle $[20\text{ Hz} - 140\text{ Hz}]$. La fréquence maximale du signal est donc : $$f_{max} = 140\text{ Hz}$$ Pour pouvoir reconstituer parfaitement le signal sans phénomène de repliement spectral (aliasing), il faut appliquer le théorème de Nyquist-Shannon, qui impose : $$f_s > 2 \cdot f_{max}$$
- Méthode / Paramétrage : On choisira une fréquence d'échantillonnage minimale de $f_s = 280\text{ Hz}$ (en pratique, on prend souvent une marge de sécurité, par exemple $300\text{ Hz}$ ou plus, mais $280\text{ Hz}$ est la limite théorique stricte attendue ici).
- Un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure $f_c \approx 140\text{ Hz}$ devra être placé en amont.
2. Quantification (Calcul du pas et du nombre de niveaux)
Le signal varie entre $V_{min} = -3\text{ V}$ et $V_{max} = +9\text{ V}$.
La dynamique totale (la plage de tension ou l'excursion) du signal est :
$$\Delta V = V_{max} - V_{min} = 9 - (-3) = 12\text{ Volts}$$
L'énoncé impose une erreur de quantification maximale $\epsilon_{max} = 0,1\text{ V}$.
Dans le cas d'une quantification linéaire (uniforme), l'erreur maximale correspond à la moitié d'un pas de quantification ($q$) :
$$\epsilon_{max} = \frac{q}{2} \le 0,1\text{ V} \implies q \le 0,2\text{ V}$$
Le nombre de niveaux de quantification nécessaires ($N$) est donné par le rapport entre la dynamique totale et le pas de quantification maximal :
$$N = \frac{\Delta V}{q} = \frac{12}{0,2} = 60\text{ niveaux}$$
- Paramétrage : Il faut au minimum 60 niveaux de quantification avec un pas de quantification maximum $q = 0,2\text{ V}$.
3. Codage binaire (Nombre de bits $n$)
L'objectif est d'utiliser le moins de bits possible pour coder ces $N$ niveaux.
Le nombre de bits $n$ doit satisfaire la relation suivante :
$$2^n \ge N$$
En remplaçant par notre valeur ($N = 60$) :
$$2^n \ge 60$$
- Si $n = 5$ bits : $2^5 = 32$ (insuffisant, $32 < 60$)
- Si $n = 6$ bits : $2^6 = 64$ (suffisant, $64 \ge 60$)
- Paramétrage : Le dispositif de numérisation devra utiliser $n = 6\text{ bits}$ par échantillon.
Synthèse des résultats à présenter :
| Étape | Méthode / Condition | Paramétrage retenu |
|---|---|---|
| Échantillonnage | Théorème de Nyquist-Shannon ($f_s > 2 \cdot f_{max}$) | $f_s = 280\text{ Hz}$ (minimum) |
| Quantification | Pas $q = 2 \cdot \epsilon_{max}$ | $q \le 0,2\text{ V}$ (soit $\ge 60$ niveaux) |
| Codage binaire | Optimisation du nombre de bits ($2^n \ge 60$) | $n = 6\text{ bits}$ |
- a) À partir de cette figure, déduire les fréquences présentes dans les sinusoïdes.
- b) À quoi correspond le dirac présent à la fréquence $f = 0\text{ Hz}$ ?
- c) Expliquez les phénomènes observés (aide : en partant de la figure 1, détaillez le processus qui permet d'obtenir la figure 2, par exemple cherchez à expliquer l'apparition d'une composante à $\pm 30\text{ Hz}$).
- d) Donner pour les deux cas la fréquence d'échantillonnage utilisée et expliquez si ce choix semble judicieux ou non.
a) Fréquences des sinusoïdes
Les raies symétriques non nulles se situent à $\pm 10\text{ Hz}$ et $\pm 40\text{ Hz}$. Les fréquences physiques présentes sont donc : $$\mathbf{f_1 = 10\text{ Hz} \quad \text{et} \quad f_2 = 40\text{ Hz}}$$
b) Signification du Dirac à $f = 0\text{ Hz}$
La raie à $f = 0\text{ Hz}$ représente la composante continue du signal (sa valeur moyenne temporelle ou offset DC).
c) Périodisation et repliement à $\pm 30\text{ Hz}$ (pour $f_{e2} = 70\text{ Hz}$)
L'échantillonnage périodise le spectre d'origine de période $f_e$ : $$X_e(f) = f_e \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(f - k f_e)$$
Pour $f_e = 70\text{ Hz}$, les raies à $\pm 40\text{ Hz}$ sont translatées de multiples de $70\text{ Hz}$ :
- La raie à $-40\text{ Hz}$ décalée de $+70\text{ Hz}$ (pour $k=1$) arrive à : $-40 + 70 = \mathbf{+30\text{ Hz}}$.
- La raie à $+40\text{ Hz}$ décalée de $-70\text{ Hz}$ (pour $k=-1$) arrive à : $+40 - 70 = \mathbf{-30\text{ Hz}}$.
d) Détermination des fréquences d'échantillonnage et analyse de pertinence
Cas (a) : Spectre répliqué de période $120\text{ Hz}$ ($f_{e1} = 120\text{ Hz}$)
Analyse : Comme $f_{e1} = 120\text{ Hz} \ge 2 \cdot f_{max} = 80\text{ Hz}$, la condition de Nyquist-Shannon est respectée. Il n'y a aucun repliement spectral dans la bande utile, la reconstruction est parfaite. Choix judicieux.
Cas (b) : Spectre répliqué de période $70\text{ Hz}$ ($f_{e2} = 70\text{ Hz}$)
Analyse : Comme $f_{e2} = 70\text{ Hz} < 80\text{ Hz}$, la condition de Shannon n'est pas respectée. Les spectres répliqués se chevauchent, entraînant le repliement des raies à $\pm 30\text{ Hz}$. Choix non judicieux (présence de repliement).
Voici la correction détaillée de l'Exercice 3 de votre sujet de traitement du signal.
1. Résolution spectrale et durée d'analyse
a) Calcul de la résolution spectrale ($\Delta f$)
La résolution spectrale représente l'écart fréquentiel entre deux points successifs de la Transformée de Fourier Discrète (TFD). Elle est donnée par la formule : $$\Delta f = \frac{F_e}{N}$$ En utilisant les données de l'énoncé ($F_e = 44,1 \text{ kHz} = 44100 \text{ Hz}$ et $N = 2048$) : $$\Delta f = \frac{44100}{2048} \approx 21,53 \text{ Hz}$$
* Réponse : La résolution spectrale obtenue est d'environ $21,53 \text{ Hz}$.
b) Calcul de la durée de la portion de signal analysée ($T_{\text{analyse}}$)
La durée de la fenêtre temporelle analysée dépend du nombre d'échantillons $N$ et de la période d'échantillonnage $T_e = \frac{1}{F_e}$ : $$T_{\text{analyse}} = N \cdot T_e = \frac{N}{F_e}$$ $$T_{\text{analyse}} = \frac{2048}{44100} \approx 0,0464 \text{ s} \quad (\text{soit } 46,44 \text{ ms})$$
* Réponse : La durée de la portion de signal analysée est de $46,44 \text{ ms}$.
c) Stratégies pour affiner l'analyse sans modifier $F_e$
Pour "affiner" l'analyse (c'est-à-dire diminuer $\Delta f$ pour avoir une grille de lecture plus précise), on peut adopter deux stratégies :
- Augmenter la durée d'observation (Augmentation physique de $N$) : Prendre un nombre de points $N$ plus grand sur le signal réel (par exemple $N = 4096$ ou utiliser la totalité des $0,5 \text{ s}$ disponibles, soit $N_{\text{max}} = 0,5 \times 44100 = 22050$ points). Cela améliore la résolution physique réelle et permet de mieux séparer deux fréquences proches.
- Le Zero-Padding (Bourrage de zéros) : Ajouter des zéros à la fin du signal temporel avant de calculer la TFD pour augmenter artificiellement $N$. Cela n'améliore pas le pouvoir de résolution physique (la capacité à séparer deux fréquences), mais cela offre une meilleure interpolation graphique du spectre (le tracé est plus lisse et plus fin).
2. Phénomène de fenêtrage et raies parasites
a) Origine des raies parasites observées
L'origine de ces raies parasites est le phénomène de fuite spectrale (spectral leakage), provoqué par la troncature temporelle du signal.
- Analyser un signal sur une durée finie revient mathématiquement à multiplier le signal infini par une fenêtre rectangulaire $\Pi(t)$.
- Dans le domaine fréquentiel, cette multiplication se traduit par une convolution du spectre théorique du signal par un sinus cardinal ($\text{sinc}$).
- La fenêtre rectangulaire possède des lobes secondaires importants (le premier lobe secondaire est à seulement $-13 \text{ dB}$ du lobe principal). Si les fréquences du signal audio ne tombent pas exactement sur les nœuds (les "bins") de la TFD, l'énergie de la fréquence "fuit" dans ces lobes secondaires, ce qui fait apparaître des raies parasites (des ondulations) tout autour des pics principaux.
3. Optimisation des paramètres d'analyse
a) Choix de $N$ et $T$ pour annuler les raies parasites pour $f_1$ et $f_2$
Pour qu'une fréquence ne subisse aucune fuite spectrale avec une fenêtre rectangulaire, il faut qu'elle tombe exactement sur un point de calcul de la TFD. Autrement dit, les fréquences $f_1$ et $f_2$ doivent être des multiples entiers de la résolution spectrale $\Delta f$.
On cherche donc un $\Delta f$ tel que : $$f_1 = k_1 \cdot \Delta f \quad \text{et} \quad f_2 = k_2 \cdot \Delta f \quad (\text{avec } k_1, k_2 \in \mathbb{N}^*)$$ $\Delta f$ doit être un diviseur commun de $f_1 = 1025 \text{ Hz}$ et $f_2 = 5800 \text{ Hz}$. Cherchons leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) :
- $1025 = 25 \times 41$
- $5800 = 25 \times 232$
- $\text{PGCD}(1025, 5800) = 25 \text{ Hz}$
* Réponse : Pour éviter les raies parasites sur ces deux fréquences, Emma doit choisir une fenêtre d'analyse de $N = 1764 \text{ échantillons}$, soit une durée de $T = 0,04 \text{ s}$ (ou n'importe quel multiple entier de ces valeurs tant que $T \le 0,5 \text{ s}$).
Question BONUS : Pourquoi $44100 \text{ Hz}$ pour le format CD audio ?
Il y a deux raisons principales à ce choix historique :
- Le théorème de Nyquist-Shannon et l'oreille humaine : L'oreille humaine entend les fréquences allant jusqu'à environ $20 \text{ kHz}$. Pour échantillonner correctement et éviter le repliement spectral, la fréquence d'échantillonnage doit être strictement supérieure au double de la fréquence maximale ($F_e > 2 \times 20 \text{ kHz} = 40 \text{ kHz}$).
- La zone de transition des filtres analogiques : Les filtres anti-repliement réels (analogiques) ne coupent pas instantanément à $20 \text{ kHz}$ (ils ont une pente de transition). La plage entre $40 \text{ kHz}$ et $44,1 \text{ kHz}$ laisse une bande de garde essentielle pour que le filtre puisse atténuer le signal sans créer de distorsions.
- La compatibilité historique avec le matériel vidéo (U-matic) : À l'époque de la création du CD (fin des années 70), le seul moyen de stocker de grands volumes de données numériques était d'utiliser des magnétoscopes professionnels. La fréquence de $44100 \text{ Hz}$ était parfaitement compatible avec les structures de lignes et de trames des formats vidéo standards de l'époque (PAL et NTSC) pour y encoder 3 échantillons audio par ligne vidéo.
a) Calcul et représentation du spectre d'amplitude du signal $x_m(t)$
Calcul théorique :
D'après la propriété de modulation (ou théorème de Plancherel/Fourier), la multiplication dans le domaine temporel par une fonction cosinusoïdale se traduit par un double décalage dans le domaine fréquentiel. En effet, en utilisant la formule d'Euler :
$$\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2}$$
On injecte cette expression dans celle de $x_m(t)$ :
$$x_m(t) = \frac{1}{2} x_a(t) e^{j2\pi f_0 t} + \frac{1}{2} x_a(t) e^{-j2\pi f_0 t}$$
En appliquant la Transformée de Fourier ($\mathcal{F}$), on obtient :
$$X_m(f) = \frac{1}{2} X_a(f - f_0) + \frac{1}{2} X_a(f + f_0)$$
Description du spectre :
Le spectre du signal modulé $|X_m(f)|$ est donc composé de la réplication du spectre initial triangulaire, centré désormais sur les fréquences porteuses $\pm f_0 = \pm 110\text{ kHz}$.
- L'amplitude maximale est divisée par deux : $\frac{A}{2}$.
- Le triangle de droite est centré en $+110\text{ kHz}$ et s'étend de $110 - 40 = 70\text{ kHz}$ à $110 + 40 = 150\text{ kHz}$.
- Le triangle de gauche est centré en $-110\text{ kHz}$ et s'étend de $-150\text{ kHz}$ à $-70\text{ kHz}$.
Représentation graphique :
b) Nombre minimal d'échantillons à transmettre par seconde (Théorème de Shannon)
Pour pouvoir échantillonner et reconstruire parfaitement un signal sans repliement spectral, le théorème de Shannon impose que la fréquence d'échantillonnage $f_s$ soit strictement supérieure au double de la fréquence maximale du signal à numériser : $$f_s > 2 \cdot f_{max}$$ D'après le spectre de $x_m(t)$ calculé à la question précédente, la fréquence maximale absolue du signal est : $$f_{max} = f_0 + F = 110\text{ kHz} + 40\text{ kHz} = 150\text{ kHz}$$ On calcule la borne inférieure de la fréquence d'échantillonnage : $$f_s > 2 \times 150\text{ kHz} = 300\text{ kHz}$$
Conclusion :
Le nombre minimal d'échantillons à transmettre par seconde est de $300\text{ }000$ échantillons par seconde (soit une fréquence d'échantillonnage minimale théorique $f_s = 300\text{ kHz}$).
c) Expression du signal échantillonné $x_{me}(t)$ et de sa transformée de Fourier $X_{me}(f)$
Expression temporelle du signal échantillonné :
L'échantillonnage idéal d'un signal analogique se modélise par la multiplication de ce dernier par un peigne de Dirac de période $T_s = \frac{1}{f_s}$ :
$$x_{me}(t) = x_m(t) \times \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - k T_s) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_m(k T_s) \delta(t - k T_s)$$
Transformée de Fourier $X_{me}(f)$ :
Dans l'espace fréquentiel, la multiplication se transforme en produit de convolution. La transformée de Fourier d'un peigne de Dirac de période $T_s$ est un peigne de Dirac en fréquence de pas $f_s$, pondéré par $f_s$. On obtient :
$$X_{me}(f) = X_m(f) * \left( f_s \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(f - k f_s) \right)$$
Par propriété du produit de convolution avec des impulsions de Dirac, on en déduit la périodisation du spectre :
$$X_{me}(f) = f_s \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_m(f - k f_s)$$
Représentation graphique du spectre (cas où $f_s = 300\text{ kHz}$) :
Chaque motif spectral de $X_m(f)$ se répète périodiquement tous les $300\text{ kHz}$. L'amplitude des pics est multipliée par $f_s$, devenant $\frac{A \cdot f_s}{2}$.